el método de los espesores equivalentes de Odemark

El método de los espesores equivalentes, desarrollado por Nils Odemark en 1949, es un modelo simplificado que permite calcular la respuesta tensodeformacional en un sistema multicapa elástico, mediante la transformación de dicho sistema en un semiespacio homogéneo y lineal equivalente, con un módulo elástico único. La ventaja de dicha transformación es que las tensiones, deformaciones y desplazamientos en este caso se pueden obtener a partir de las ecuaciones relativamente sencillas de Foster, Ahlvin y Ulery.

El método de los espesores equivalentes de Odemark se basa en la hipótesis de que las tensiones y deformaciones que se producen bajo una capa dependen únicamente de la rigidez de dicha capa, la cual es proporcional a

De este modo, si varían el espesor h, el módulo elástico E o el coeficiente de Poisson de una capa, de forma que su rigidez global se mantenga constante, las tensiones y deformaciones bajo dicha capa permanecerán aproximadamente invariables. Por ejemplo, la transformación que se muestra en la siguiente figura no tendría influencia, a efectos de cálculo de las tensiones y deformaciones en la capa 2, si se cumple que:

 

donde he,1 es el denominado 'espesor equivalente' de la capa 1 respecto a la capa 2. El sistema equivalente de la parte derecha de la figura no es más que un semiespacio infinito para el que son aplicables las ecuaciones de Boussinesq y las derivadas a partir de ellas para cargas distribuidas (ecuaciones de Foster y Ahlvin), pero únicamente para calcular tensiones, deformaciones de desplazamientos por debajo de la interfaz.

En la transformación para determinar el espesor equivalente es habitual suponer que los coeficientes de Poisson de todas las capas son iguales; en realidad, es complejo determinar el valor de dicho parámetro con precisión, y por otro lado, su variación afecta poco a los resultados teniendo sobre todo en cuenta que el de los espesores equivalentes es un método de cálculo aproximado. En este caso, la fórmula anterior queda:

Como ya se ha indicado, este es un método aproximado, y la comparación de sus resultados con los proporcionados empleando la teoría de la elasticidad para sistemas multicapa muestra que son ligeramente diferentes. Para lograr un mayor ajuste del método, con resultados más ajustados a los correspondientes a la teoría elástica, se introduce un factor de corrección f en la transformación.

Dicho factor depende de los espesores de las capas y del número de éstas, del ratio entre sus módulos elásticos y de sus coeficientes de Poisson; en cualquier caso, es habitual considerar un factor de corrección de 0,8 excepto para la primera interfaz (transformación de la capa superior en una equivalente respecto a la inmediatamente inferior), para la que se emplea un factor de 0,9 en sistemas bicapa y de 1,0 para sistemas multicapa.

La transformación se puede generalizar para un sistema multicapa, obteniéndose el espesor equivalente de las n-1 capas por encima de la capa n, con respecto al módulo de esta. En ese caso, la formulación general de la transformación de Odemark es la siguiente:

El * del módulo de la capa i+1 indica que es un módulo efectivo, que depende del propio módulo de la capa y de los módulos de las capas que tiene por debajo (es decir, de la capa n y sucesivas). Su determinación es algo compleja, y se basa en el establecimiento de la igualdad de determinadas condiciones de contorno respecto a las deflexiones de la capa.

Sin embargo, otros autores, en posteriores revisiones de la teoría, como Per Ullidtz, no siguen este planteamiento original de Odemark, y consideran que el espesor equivalente de la capa i depende únicamente de las propiedades mecánicas de la capa inmediatamente inferior (i+1) y no de las que se encuentran bajo esta (en realidad, este planteamiento es similar a la teoría de espesores equivalentes del Palmer y Barber, propuesta con anterioridad a la de Odemark, aunque en ese caso sin factores de ajuste).

En este caso, según el autor existen diferentes formas de aplicar la transformación. La más sencilla consiste en transformar, una a una, cada capa en un espesor equivalente respecto a la capa n, de forma independiente. En ese caso, y por ejemplo para un sistema de tres capas, el espesor equivalente de las dos superiores (n-1) respecto a la tercera (n) sería:

En este caso, los espesores de las capas 1 y 2 se transforman, de manera independiente, en espesores equivalentes respecto de la capa 3.

Por otro lado, otros autores realizan la transformación capa por capa, pero de forma secuencial. Es decir, cada capa se transforma en una equivalente respecto a la inmediatamente inferior, y el conjunto equivalente formado por estas dos, respecto a la siguiente, y así sucesivamente hasta obtener el sistema equivalente respecto a la capa n. En este caso, en general y para el mismo sistema tricapa del ejemplo anterior:

donde he es el espesor equivalente de las capas superiores respecto a la capa n, he,n-1 es el espesor equivalente de las capas sobre la capa n-1, y hn-1 es el espesor real de  la capa n-1. En este caso, como puede verse, el espesor de la capa 1 se transforma en un espesor equivalente respecto al módulo de la capa 2, y a continuación, el espesor total equivalente respecto de la capa 2 se transforma en un nuevo espesor equivalente respecto de la capa 3. Nótese que el espesor equivalente he,n-1 de las capas sobre la capa n-1, se ha calculado sin la aplicación de coeficientes de ajuste.

La ventaja del método de los espesores equivalentes de Odermark es, como ya se ha dicho, que permite calcular de forma aproximada tensiones, deformaciones y desplazamientos empleando ecuaciones sencillas y fácilmente implementables, por ejemplo, en una hoja de cálculo. En función de la posición en la que se desee calcular la respuesta tensional será necesario realizar la transformación completa o parcialmente, para las capas requeridas. En este último caso, las capas situadas por debajo de la capa n se suponen de las mismas características mecánicas que ésta.

Las transformaciones aquí mostradas se pueden emplear con distintos objetivos:

- Analizar los datos proporcionados por un deflectómetro de impacto respecto al estado estructural de un pavimento a través del denominado 'módulo equivalente de superficie'.

- Cálculo de tensiones y deformaciones en puntos críticos en sistemas de gestión de pavimentos (para los que es preciso hacer gran número de cálculos).

- Determinación del módulo equivalente de un sistema multicapa, de especial interés cuando se trata de caracterizar el cimiento de un pavimento, constituido por varias capas de diferentes materiales, a través de un valor único.

- Cálculo de la frecuencia de aplicación de la carga, a partir del concepto de longitud efectiva del pulso de carga, para determinar el valor estimado del módulo complejo E* de una capa asfáltica (este concepto se emplea en la nueva Mechanistic-Empirical Pavement Design Guide de la AASHTO).

- Estimación aproximada de la equivalencia en espesores, a efectos de sustitución en una sección estructural, de capas de materiales con diferentes módulos de elasticidad.

Por otro lado, el método tiene ciertas limitaciones: los módulos elásticos de las capas deben ser decrecientes con la profundidad (preferiblemente con una relación superior a 2), y el espesor equivalente de cada capa debe ser mayor que el radio del área cargada. En caso contrario, el método sigue siendo aplicable, pero necesitaría una recalibración de los factores de ajuste f.